分割等和子集（LeetCode 416）

Description

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

Sample Input 1

nums = [1,5,11,5]

Sample Output 1

true

Sample Tips 1

数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11]。

Sample Input 2

nums = [1,2,3,5]

Sample Output 2

false

Sample Tips 2

数组不能分割成两个元素和相等的子集。

Tips

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 100

算法思想：

这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的，但最后超时了，也不想再优化了，放弃回溯

可以采用01背包问题求解：

首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

   01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

   本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。

   套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

   那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。

   有录友可能想，那还有装不满的时候？

   拿输入数组 [1, 5, 11, 5]，距离， dp[7] 只能等于 6，因为 只能放进 1 和 5。

   而dp[6] 就可以等于6了，放进1 和 5，那么dp[6] == 6，说明背包装满了。

2. 确定递推公式

   01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

   本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

   所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3. dp数组如何初始化

   在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，

   从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。

   如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

   这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

   本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

   代码如下：

   // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
   // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
   vector<int> dp(10001, 0);

4. 确定遍历顺序

   如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

   代码如下：

   // 开始 01背包
   for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
       for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
           dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
       }
   }

5. 举例推导dp数组

   dp[j]的数值一定是小于等于j的。

   如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

综上分析完毕，代码如下：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};

Java代码代码如下：

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        if(nums == null || nums.length == 0) return false;
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for(int num : nums) {
            sum += num;
        }
        //总和为奇数，不能平分
        if(sum % 2 != 0) return false;
        int target = sum / 2;
        int[] dp = new int[target + 1];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {
                //物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        return dp[target] == target;
    }
}