二次规划问题在生活中非常常见，广泛体现在时间调度、时间调度，规模经济学，工程设计以及控制领域，设施分配问题，选址问题，目前MindOpt优化求解器求解二次规划问题的功能正在公测，感兴趣的小伙伴可以去了解一下。本文将会重点讲述如何使用mindopt c++ 语言的api来建模优化二次规划问题。
MindOpt Python、C、C++语言求解LP、MILP、QP问题系列
- Python: 线性规划LP问题、混合整数线性规划MILP问题、二次规划QP问题
- C : 线性规划LP问题、混合整数线性规划MILP问题、二次规划QP问题
- C++ : 线性规划LP问题、混合整数线性规划MILP问题、二次规划QP问题(本篇)
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二次规划
在前文线性规划问题示例中，讲述到线性规划在我个人认为是在线性的目标和约束中，找出一个最优解。而本文的二次规划，是非线性规划中的一类。具体地说，是一个线性约束的、二次规划问题，就是优化（最小化或最大化）二次函数目标的问题。
关于优化的类别，有很多，比如MindOpt的案例广场的标签里面提到的问题标签，就列出了常见的数学规划的类型。其中关于变量、约束、目标这建模三要素，进行罗列：
- 关于变量：取值有连续的，有整数的，还有更特殊的二进制（0或1）的，
- 关于约束和目标：一般用变量的函数变换来表达，其中约束再增加它函数的取值范围。
- 当函数是变量的线性关系时，比如x的1次方相加，我们称呼为线性约束、线性的目标。（如果变量也是连续的，这个就是线性规划问题啦。）
- 当函数是变量的是二次关系的时候，比如函数中有 x的2次方项。我们称呼为二次约束，或二次目标。
- 函数还会有凸函数和非凸函数，数学里面都代表不同的特性，大家可以再多去查阅材料。
本文主要讲 凸二次规划，Convex Quadratic Programming。
数学形式下的二次规划问题：
公式参考自MindOpt文档：https://solver.damo.alibaba.com/doc/html/model/qp/quadratic%20problem.html
案例
讲一个简单的例子，使用二次规划方法优化汽车轨迹，自动化驾驶车辆行驶在道路比较狭窄的路径上，还有其他障碍物阻碍的情况下，如果需要快速通过的话，我们需要暂时借用相邻车道通过，这个情况需要考虑自身车辆的情况、交通规则、保障远离障碍物距离的信息，然后找出一条通道。那么这个例子的解决办法是先考虑自身车辆的位置和周围障碍物，精确处理前一步可用车道，得到路径的边界，然后对路径边界进行优化(比如把车辆和障碍物之间的距离最大化，以允许车辆安全通过间隙)。
数学算例
接下来我们举一个简单的数学算例，和如何用MindOpt优化求解器进行求解。
二次规划问题示例：
C++和MindOpt代码实现
核心使用的几个APIs是：
MdoModel model; model.setIntAttr(MDO_INT_ATTR::MIN_SENSE, MDO_YES); model.addCons(1.0, MDO_INFINITY, 1.0 * x[0] + 1.0 * x[1] + 2.0 * x[2] + 3.0 * x[3], "c0"); model.addCons(1.0, 1.0, 1.0 * x[0] - 1.0 * x[2] + 6.0 * x[3], "c1"); model.solveProb(); model.displayResults();
下面是完整的例子，可复制存为MdoQoEx1.cpp文件。
#include <iostream> #include <vector> /*引入头文件*/ #include "MindoptCpp.h" using namespace mindopt; int main(void) { /*------------------------------------------------------------------*/ /* Step 1. 创建模型并更改参数。 */ /*------------------------------------------------------------------*/ /* 创建一个空模型。 */ MdoModel model; try { /*------------------------------------------------------------------*/ /* Step 2. 输入模型。 */ /*------------------------------------------------------------------*/ /* 通过 mindopt::MdoModel::setIntAttr() 将目标函数设置为 最小化 */ model.setIntAttr(MDO_INT_ATTR::MIN_SENSE, MDO_YES); /* 调用 mindopt::MdoModel::addVar() 来添加四个优化变量，定义其下界、上界、名称和类型 */ std::vector<MdoVar> x; x.push_back(model.addVar(0.0, 10.0, 1.0, "x0", MDO_NO)); x.push_back(model.addVar(0.0, MDO_INFINITY, 1.0, "x1", MDO_NO)); x.push_back(model.addVar(0.0, MDO_INFINITY, 1.0, "x2", MDO_NO)); x.push_back(model.addVar(0.0, MDO_INFINITY, 1.0, "x3", MDO_NO)); /* 添加约束 */ model.addCons(1.0, MDO_INFINITY, 1.0 * x[0] + 1.0 * x[1] + 2.0 * x[2] + 3.0 * x[3], "c0"); model.addCons(1.0, 1.0, 1.0 * x[0] - 1.0 * x[2] + 6.0 * x[3], "c1"); /* 添加二次目标矩阵 Q. * * 1. 目标函数定义为c^Tx + 1/2 x^TQx，其中Q以坐标格式存储。 * 2. Q 将在内部缩放 1/2。 * 3. 为保证Q的对称性，用户只需输入下三角部分即可 * * Q = [ 1.0 0.5 0 0 ] * [ 0.5 1.0 0 0 ] * [ 0.0 0.0 1.0 0 ] * [ 0 0 0 1.0 ] */ /*调用 mindopt::MdoModel::setQuadraticElements() 来设置目标的二次项系数 。 前两组输入向量分别表示二次项中所有非零项的两个变量的索引， 最后一组输入向量是与之相对应的非零系数值。*/ model.setQuadraticElements ( { x[0], x[1], x[1], x[2], x[3] }, { x[0], x[0], x[1], x[2], x[3] }, { 1.0, 0.5, 1.0, 1.0, 1.0 } ); /*------------------------------------------------------------------*/ /* Step 3. 解决问题并填充结果。 */ /*------------------------------------------------------------------*/ /* 调用 mindopt::MdoModel::solveProb() 求解优化问题， 并通过 mindopt::MdoModel::displayResults() 查看优化结果 */ model.solveProb(); model.displayResults(); } catch (MdoException & e) { std::cerr << "===================================" << std::endl; std::cerr << "Error : code <" << e.getResult() << ">" << std::endl; std::cerr << "Reason : " << model.explainResult(e.getResult()) << std::endl; std::cerr << "===================================" << std::endl; return static_cast<int>(e.getResult()); } return static_cast<int>(MDO_OKAY); }
MindOpt求解的结果
运行MdoQoEx1.cpp文件的步骤
linux和mac系统直接在命令行输入
cd <MDOHOME>/<VERSION>/examples/CPP make -f Makefile all ./MdoQoEx1
windows系统本例是在Visual Studio上运行，版本为2019
#运行方式与前文 一致，只需要修改文件就好；把MdoLoEx1.cpp换成MdoQoEx1.cpp
如上文所述，运行MdoMiloEx1.cpp文件，得到求解的结果如下所示，/**/号里面是我添加的注释。
Model summary. /*模型摘要*/ - Num. variables : 4 - Num. constraints : 2 - Num. nonzeros : 7 - Bound range : [1.0e+00,1.0e+01] - Objective range : [1.0e+00,1.0e+00] - Quad. obj. range : [5.0e-01,1.0e+00] - Matrix range : [1.0e+00,6.0e+00] Presolver started. Presolver terminated. Time : 0.001s Interior point method started. /*内点法*/ Iter PrimObj DualObj PrimFea DualFea GapFea Mu Time 0 +5.21950421e+01 -5.93593455e+01 1.3e+00 8.0e-01 2.1e+00 1.5e+01 0.03s 1 +5.75093325e+00 -3.28624247e+00 3.2e-02 2.0e-02 2.8e+00 1.5e+00 0.04s 2 +1.19681205e+00 +1.03397025e-04 8.1e-04 3.7e-03 1.2e+00 2.0e-01 0.04s 3 +6.52164783e-01 +3.52420863e-01 1.7e-04 3.7e-03 3.0e-01 4.9e-02 0.05s 4 +4.65540318e-01 +4.35143347e-01 4.2e-06 9.3e-05 3.0e-02 5.1e-03 0.06s 5 +4.40907312e-01 +4.39861230e-01 1.0e-07 2.3e-06 1.0e-03 1.7e-04 0.07s 6 +4.40022716e-01 +4.39996554e-01 2.6e-09 5.8e-08 2.6e-05 4.4e-06 0.08s 7 +4.40000569e-01 +4.39999914e-01 6.5e-11 1.5e-09 6.6e-07 1.1e-07 0.08s 8 +4.40000014e-01 +4.39999998e-01 1.6e-12 3.7e-11 1.6e-08 2.7e-09 0.09s 9 +4.40000000e-01 +4.40000000e-01 4.1e-14 9.1e-13 4.1e-10 6.9e-11 0.10s Terminated. - Method : Interior point method. - Primal objective : 4.3999999966807E-01 - Dual objective : 4.3999999996074E-01 - Num. threads : 2 - Num. iterations : 9 - Solver details : Solver terminated with a primal/dual optimal status. Interior point method terminated. Time : 0.107s Optimizer summary. - Optimizer used : Interior point method - Optimizer status : OPTIMAL - Total time : 0.116s Solution summary. Primal solution - Objective : 4.3999999967e-01 /*目标函数最优解*/
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