数学——图形题

2022-11-23 173

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简介： 数学——图形题

1：计算不同区域面积

在图中，有一个正方形ABCD，其中，AB=BC=CD=DA=a。以四个顶点A, B, C, D为圆心，以a为半径，画四个圆弧：以A为圆心的圆弧，从相邻顶点B开始，到相邻顶点D结束；所有其他的圆弧都以类似的方式画出。如图所示，以这种方式在正方形中画出了三种不同形状的区域，每种区域用不同阴影表示。请您计算不同阴影部分的总面积。

输入格式:

输入的每一行都给出一个浮点数a（0<=a<=10000），表示正方形的边的长度。输入以EOF结束。

输出格式:

对于每一行的输入，输出一行，给出三种不同阴影部分的总面积：给出三个保留小数点后三位的浮点数，第一个数字表示条纹区域的总面积，第二个数字表示点星罗棋布的区域的总面积，第三个数字表示其余区域的面积。

输入样例:

0.1

0.2

0.3

输出样例:

0.003 0.005 0.002

0.013 0.020 0.007

0.028 0.046 0.016

输入格式:

输入的每一行都给出一个浮点数a（0<=a<=10000），表示正方形的边的长度。输入以EOF结束。

输出格式:

输入样例:

0.1
0.2
0.3

输出样例:

0.003 0.005 0.002
0.013 0.020 0.007
0.028 0.046 0.016

![在这里插入图片描述](https://ucc.alicdn.com/images/user-upload-01/7b4b0b4c6b924894bbf53194103f98c2.png

题目解析：如图所示把所求分别连接AE，BE，然后作三角形ABE的垂线EO，由题意可知AE，BE，AB分别为各自所在圆的半径，所以有AE=BE=AB=a，由图形可以得出x + y == S扇形DEA - （S扇形BEA - S三角形AEB）

==> x + y == (1 / 3)S扇形ADB - ((2 / 3)S扇形ADB - S三角形AEB)

==> x + y == sqrt(3) / 4 a2 - pi / 12 a2 - - - - - - (1)

由图可得：

4 * x + 4 * y + z == a2 - - - - - - (2)

2x + 3y + z == (1 / 4) pi a2 - - - - - - (3)

化简求阴影得：

4x == a2(4 - sqrt(3) - (2/ 3) pi)

4y == a2(2sqrt(3) - 4 + pi / 3)

z = a2(1 - sqrt(3) + pi / 3)

#include <iostream>
#include <cmath>
#define pi 3.1415926535
using namespace std;
int main()
{
    double a;
    while (cin >> a)
        printf("%.3f %.3f %.3f\n", 
               a * a * (1 - sqrt(3) + pi / 3),
               a * a * (2 * sqrt(3) - 4 + pi / 3),
               a * a * (4 - sqrt(3) - 2 * pi / 3));
    return 0;
}

2：我是送分题

大家最喜欢的送分题他来了，现在有一个等式F(n) = F(n - 1) + 2 * F(n - 2) + 3 * F(n - 3)，F(1) = 1, F(2) = 2,F(3) = 3,

现在给出一个n请你求出F(n)对1e9+ 7取模.看到这里你是不是想大喊一声芜湖，起飞，老送分题咯。

输入格式:

简简单单一个n(4 <= n <= 1e9)

输出格式:

输出F(n)对1e9+ 7取模

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

代码长度限制

16 KB

时间限制

400 ms

内存限制

64 MB

解析：首先从时间考虑，这题数据范围在4 ~ 1e9 O(N)肯定是过不去的，所以我们需要考虑log(N)的做法（快速幂和最大公约数），这题显然可以看出和最大公约数没关系，所以我们从快速幂入手，由题意可知，我们需要根据递推式求出如下的目标矩阵

可以推出如下结果：

当n>3时推出如下公式

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long LL;
struct Mx
{
    LL g[3][3];
    Mx()
    {
        memset(g, 0, sizeof g);
    }
};
Mx mul(Mx a, Mx b) //  矩阵乘法
{
    Mx res;
    for (int i = 0; i < 3; i ++ )
        for (int j = 0; j < 3; j ++ )
        {
            LL sum = 0;
            for (int k = 0; k < 3; k ++ )
                sum = (sum + a.g[i][k] * b.g[k][j]) % mod;
            res.g[i][j] = sum;
        }
    return res;
}
Mx Mx_pow(Mx a, LL b) //  矩阵快速幂
{
    Mx res;
    //  构造单位矩阵
    res.g[0][0] = res.g[1][1] = res.g[2][2] = 1;
    while (b)
    {
        if(b & 1) res = mul(res, a);
        a = mul(a, a);
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    LL n;
    Mx a;
    cin >> n;
    //  目标矩阵
    a.g[0][0] = a.g[1][0] = a.g[2][1] = 1;
    a.g[0][1] = 2;
    a.g[0][2] = 3;
    a = Mx_pow(a, n - 3);
    LL ans[3][1], num[3][1];
    num[0][0] = 3, num[1][0] = 2, num[2][0] = 1;
    for (int i = 0; i < 3; i ++ )
    {
        LL sum = 0;
        for (int j = 0; j < 3; j ++ )
            sum = (sum + a.g[i][j] * num[j][0]) % mod;
        ans[i][0] = sum;
    }
    cout << ans[0][0];
    return 0;
}