多元线性回归分析-2| 学习笔记

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多元线性回归分析-2

内容简介

一、回归方程是否显著：F 检验

二、回归方程是否显著：t 检验

三、自变量的标准化

一、回归方程是否显著：F 检验

SST=SSE+SSR

离差平方和等于残差平方和加离差平方和。残差平方和越小越好，回归平方和越大越好

求方程检验还是要构建统计量

F 检验是根据平方和分解式，直接从回归效果检验回归方程的显著性。由平方和分解式可得到 SSR 越大，回归效果越好，据此构造 F 统计量。

确定假设：检验自变量 X 对因变量 Y 是否有明显影响，即原假设 ,这就可以看出一元和多元的区别，是要检验所有因变量和自变量的关系，有没有明显的影响。

确定检验水平：采取最常用的 α=0.05α=0.01，α=0.005…

计算统计量：计算自由度为(p，n-p-1)的 F 统计量

下图中的表体现三者之间的关系。

计算 p 值：根据 F 计算 p 值（也可以直接取比较F值）

得到结论 ，或者 拒绝原假设 ，接受备择假设

二、回归方程是否显著：t 检验

因变量 y 和自变量 x 之间是否存在线性关系，即 是否等于0，使用 t 检验进行判断。

确定假设：检验 对 y 是否有作用显著，即原假设 ，备择假设

确定检验水平：采取最常用的α=0.05α=0.01，α=0.005…

计算统计量： ，记 ，构造统计量 t=

计算 p 值：根据 t 值计算 p 值（也可以直接取比较 T 值），t 分布临界表，自由度 n-p-1，双尾检测

得到结论 ，或者 拒绝原假设 ，接受备择假设

t检验和F检验对多元线性回归来说不等价，F检验的目标是对所有自变量，t检验目标为单个自变

量，即使 F 检验拒绝原假设，也不等于所有自变量都对因变量有影响，需要使用t检验去逐个验证。

三、自变量的标准化

多个自变量 x 的单位不同，其取值也不同，如果取值相差太大，会因计算误差问题导致回归方程结果不理想，需要对其进行标准化。

中心化：找到样本数据的中心( )，回归方程会经过这点，通过坐标变化，将原点移到该中心：

中心化后的方程：

中心化不改变回归线的斜率，只改变了直线的截距，所以 β。中心化后变成了0，而其他的回归系数 没有变化。

标准化：自变量单位不同，数据大小差异大，不利于在同一个标准上进行比较，为了消除量纲不同和数量级的差异带来的影响，将样本数据标准化处理，然后使用最小二乘法，得到标准化后的回归系数。

y=1+10000* x₁+0.1* x₂ 这时候是和单位有关的，一元是和单位无关的，只有一个变量不存在自变量的相加，假设 x₁ 的单位是分，x₂ 的单位是万元或是亿元。在不知道单位的情况下，x₁ 的影响更大，x₂ 的影响更小。忽略单位的影响，误差是和其系数相关的，一旦加上单位，就会发生变化，对 x₁ x₂ 消除变量话的影响。用到标准化公式为

标准化后的方程：

标准化包括中心化，标准化后的公式中有：

简单相关系数

相关阵：简单相关系数组成的矩阵，反应的是变量之间的相关程度。

自变量间的相关阵为 r，若记中心标准化后的设计阵为 X^*=(x^*_ij)_n*p 则有：r=(X^*)^TX^*在自变量相关阵的基础上，增加因变量 y 与各自变量 x_i 的相关系数 r_yi，得到增广相关阵。

复相关系数与偏相关系数

复相关系数：反映了一个因变量与一组自变量之间相关程度的指标，用来度量复相关程度。复相关系数 R 的平方 R² 被称作决定系数、拟合优度等，对于一元线性方程，R 等同于简单相关系数 r。

偏决定系数；设某多元线性回归模型为 ，i=1，2，…n。当模型中只含有自变量 x，时 y 的残差平方和记作 SSE(x)，含有所有自变量x时的残差平方和记作SSE(x₁，X₂……X_p)，自变量 x_k 的加入使得残差平方和相对减少的量被称作偏决定系数。其平方根被称为偏相关系数，记作 r。偏决定系数的公式为：如下图。